Моим родителям принадлежала приватизированная квартира. Отец был признан недееспособным, опекуном назначили мою мать, которая недавно умерла. Может ли теперь отец наследовать часть квартиры, будучи невменяемым?

Может. Признание недееспособным лица, не устраняет его от права на наследование. Единственное, что самостоятельно он сделать этого не сможет Вам теперь необходимо в судебном порядке оформить опеку в отношении вашего отца, а также получить разрешение органа опеки и попечительство на вступление в наследство от имени отца. Собственником после чего, будет отец, и помните, будучи опекуном Вы не можете отказаться от имени отца от наследства.